Question

已知曲线C：x²+

y2

a

=1，直线l：kx-y-k=0，O为坐标原点．
（1）若该曲线的离心率为

3

2

，求该的曲线C的方程；
（2）当a=-1时，直线l过定点M且与曲线C相交于两点M，N，试问在曲线C上是否存在点Q使得

OM

+

ON

=λ

OQ

？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）若焦点在x轴上，结合离心率，求出a，得到椭圆C的方程；若焦点在y轴上，利用离心率求出a得到椭圆的方程．
（2）通过直线l与曲线C都恒过定点（1，0），M（1，0），联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，假设存在满足条件的Q，利用

OM

+

ON

=λ

OQ

，推出λ与k的关系式，然后求解λ的范围即可．

解答： 解：（1）曲线C：x²+

y2

a

=1，该曲线的离心率为

3

2

，
若焦点在x轴上，则

1-a

1

=

3

2

，解得a=

1

4

．
椭圆C：x²+4y²=1；…（3分）
若焦点在y轴上，则

a-1

a

=

3

2

，解得a=2，
椭圆C：x2+

y2

2

=1；…（6分）
（2）由题：直线l与曲线C都恒过定点（1，0），M（1，0）；…（7分）

y=k(x-1) x2-y2=1

⇒(k2-1)x2-2k2x+k2+1=0，可得x=

k2+1

k2-1

，y=

2k

k2-1

，…（9分）
假设存在满足条件的Q，

OM

+

ON

=λ

OQ

?

1+xN=λxQ yN=λyQ

，代入曲线C可得

1

λ2

(xQ2-yQ2)=1⇒λ²=(

2k2

k2-1

)2-(

2k

k2-1

)2=

4k2

k2-1

=4+

4

k2-1

＞4，…（13分）
所以：λ＜-2或λ＞2满足条件．…（14分）

点评：本题考查椭圆的求法，直线与椭圆的综合应用，存在性问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．