Question

如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点．
求证：（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC．

Answer 1

分析：（1）由条件并利用等腰三角形的性质可得 CE⊥AB，DE⊥AB，根据直线与平面垂直的判定定理证得 AB⊥平面CDE．
（2）由（1）AB⊥平面CDE，而AB?平面ABC，利用平面与平面垂直的判定定理证得平面CDE⊥平面ABC．

解答：证明：（1）∵BC=AC，AD=BD，E是AB的中点，由等腰三角形的性质可得 CE⊥AB，DE⊥AB．
这样，AB垂直于平面CDE中的两条相交直线CE 和 DE，∴AB⊥平面CDE．
（2）由（1）AB⊥平面CDE，而AB?平面ABC，平面CDE⊥平面ABC．

点评：本题主要考查证明线面垂直、面面垂直的方法，直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．