(本小题满分12分)已知椭圆,离心率为的椭圆经过点.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线分别与椭圆交于和,是否存在常数,使得?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
(1)(2)存在实数,使得.理由见解析
解析试题分析:(1)由题可知,即,
由此得,故椭圆方程是,
将点的坐标代入,得,解得,
故椭圆方程是. ……4分
(2)问题等价于,即是否是定值问题.
椭圆的焦点坐标是,不妨取焦点,
当直线的斜率存在且不等于零时,
设直线的斜率为,则直线的方程是,
代入椭圆方程并整理得
设,则. ……6分
根据弦长公式,
=
== ……8分
以代换,得 ……9分
所以
即 ……10分
当直线的斜率不存在或等于零时,
一个是椭圆的长轴长,一个是通径长度,
此时,即.
综上所述,故存在实数,使得. ……12分
考点:本小题主要考查椭圆标准方程的求解和直线与椭圆的位置关系以及弦长公式的应用,考查学生的转化能力和运算能力.
点评:圆锥曲线问题一般难度较大,要仔细分析,仔细运算,另外设直线方程时,要考虑到直线的斜率是否存在.
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(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分. 第3小题满分6分.
(理)已知椭圆的一个焦点为,点在椭圆上,点满足(其中为坐标原点),过点作一直线交椭圆于、两点 .
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积的最大值;
(3)设点为点关于轴的对称点,判断与的位置关系,并说明理由.
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(本题满分14分)
已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长为,离心率,过右焦点的直线交
椭圆于,两点:
(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)当直线的斜率为1时,求的面积;
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已知平面内一动点P到F(1,0)的距离比点P到轴的距离少1.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线于点,且
,,
求的值。
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(本小题14分)已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切,分别是椭圆的左右两个顶点,为椭圆上的动点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若与均不重合,设直线的斜率分别为,求的值。
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解答题(本题共10分.请写出文字说明, 证明过程或演算步骤):
已知是椭圆上一点,,是椭圆的两焦点,且满足
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设、是椭圆上任两点,且直线、的斜率分别为、,若存在常数使,求直线的斜率.
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(本小题满分12分)
已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,左右焦点分别为,且,
点(1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过的直线与椭圆相交于两点,且的面积为,求直线的方程.
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