Question

【题目】已知椭圆的离心率为，分别为的左顶点和上顶点，若的中点的纵坐标为.分别为的左、右焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与交于两点，，的重心分别为.若原点在以为直径的圆内，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据离心率、中点坐标和椭圆关系可构造方程组求得，进而得到椭圆方程；

（2）将方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式；根据重心的坐标表示和点与圆的位置关系可得到，代入韦达定理的结论可构造不等式求得的范围，验证后确定满足即可.

（1）设椭圆的半焦距为，由题意有，，

，且，结合，解得：，，

∴椭圆的方程为.

（2）设，，

联立方程消去得：，

由可得：，解得：，

则，，

由题意得：，的重心，，

∵原点在以为直径的圆内，∴，即.

∵，

，

变形为，解得：，满足，，

即实数的取值范围为.