【题目】判断下列命题的真假:
(1)是的必要条件;
(2)是的充要条件;
(3)两个三角形的两组对应角相等是这两个三角形相似的充要条件;
(4)三角形的三条边满足勾股定理是这个三角形为直角三角形的充要条件;
(5)在中,重心和垂心重合是为等边三角形的必要条件;
(6)如果点到点的距离相等,则点一定在线段的垂直平分线上.
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【题目】已知圆C:.
(1)求经过点且与圆C相切的直线方程;
(2)设直线与圆C相交于A,B两点,若,求实数n的值;
(3)若点在以为圆心,以1为半径的圆上,距离为4的两点P,Q在圆C上,求的最小值.
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【题目】为了了解某省各景点在大众中的熟知度,随机对15~65岁的人群抽样了人,回答问题“某省有哪几个著名的旅游景点?”统计结果如下图表
组号 | 分组 | 回答正确 的人数 | 回答正确的人数 占本组的频率 |
第1组 | [15,25) | 0.5 | |
第2组 | [25,35) | 18 | |
第3组 | [35,45) | 0.9 | |
第4组 | [45,55) | 9 | 0.36 |
第5组 | [55,65] | 3 |
(1)分别求出的值;
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,求第2,3,4组每组各抽取多少人?
(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人,求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
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【题目】已知,函数其中
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个零点,
(i)求的取值范围;
(ii)设的两个零点分别为x1,x2,证明:x1x2>e2.
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【题目】如图1,在△中,,分别为,的中点,为的中点,,.将△沿折起到△的位置,使得平面平面,如图2.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线和平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使得直线和所成角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
图1 图2
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【题目】如图,已知三棱锥的三条侧棱, , 两两垂直, 为等边三角形, 为内部一点,点在的延长线上,且.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)证明: ;
(Ⅲ)若,求二面角的余弦值.
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