Question

【题目】某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为人，以后学生人数年增长率为.该校今年年初有旧实验设备套，其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的的增长率增加新设备，同时每年淘汰套旧设备.

（1）如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？

（2）依照（1）的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？

下列数据提供计算时参考：

Answer 1

【答案】（1）套；（2）16年

【解析】

（1）10年后学生人数为，设今年起学校的合格实验设备为数列，然后可得数列是首项为，公比为的等比数列，然后求出即可算出答案.

（2）根据（1）中的结果，直接算出即可

（1）今年学生人数为人，则10年后学生人数为，

设今年起学校的合格实验设备为数列

则，

令，则

所以，即

所以数列是首项为，公比为的等比数列

所以，即

所以

由题意得，解得.∴每年应更换的旧设备为套.

（2）全部更换旧设备共需年.

答：（1）每年应更换的旧设备为套.

（2）按此速度全部更换旧设备共需16年.