Question

设S_n是正项数列{a_n}的前n项和且Sn= 

1

2

an2+

1

2

an-1．
（1）求a_n；  
（2）若bn=2n求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

Answer 1

分析：（1）n=1时，a₁=S1= 

1

2

a12+

1

2

a1-1，n≥2时，Sn= 

1

2

an2+

1

2

an-1，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列，从而可求数列的通项；
（2）T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2×2¹+3×2²+…+（n+1）×2ⁿ，利用错位相减法可求数列的和．

解答：解：（1）由已知正项数列{a_n}
n=1时，a₁=S1= 

1

2

a12+

1

2

a1-1，解得a₁=2
n≥2时，∵Sn= 

1

2

an2+

1

2

an-1①
∴Sn-1= 

1

2

an-12+

1

2

an-1-1②
①-②可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1-1=0
∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1
（2）T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2×2¹+3×2²+…+（n+1）×2ⁿ③
∴2T_n=2×2²+…+n×2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹④
④-③可得T_n=-2×2¹-2²-…-2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹=-4-

4(1-2n-1)

1-2

+（n+1）×2ⁿ⁺¹=n•2^n-1
∴T_n=n•2^n-1．

点评：本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和是关键．