Question

点P（-

π

6

，2）是函数f（x）=sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为

π

2

，则（　　）

• A、f（x）的最小正周期是Ti
• B、f（x）的值域为[O，4]
• C、f（x）的初相φ为

  π

  3

• D、f（x）在[

  4

  3

  π，2π]上单调递增

Answer 1

分析：点P（-

π

6

，2）是函数f（x）=sin（ωx+φ）+m的图象的一个对称中心，根据函数对称性可得，m=2，sin（-

π

6

ω+φ）=0
又点P到该图象的对称轴的距离的最小值

π

2

有，

T

4

=

π

2

所以 T=2π，ω=1可求f（x）=sin（x+φ）+2，利用排除法找出正确选项即可

解答：解：因为点P（-

π

6

，2）是函数f（x）=sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象的一个对称中心，
根据函数对称性可得，m=2，sin（-

π

6

ω+φ）=0
又点P到该图象的对称轴的距离的最小值

π

2

，

T

4

=

π

2

所以 T=2π，ω=1
所以f（x）=sin（x+φ）+2，
把 已知点（-

π

6

，2）代入可得sin( -

π

6

+φ）=0由已知|φ|＜

π

2

可得  φ=

π

6

所以f（x）=sin（x+

π

6

）+2
A：函数的最小正周期为：2π，故错误
B：函数的值域为：[1，3]，故错误
C：函数的初相为：φ=

π

6

，故错误
故选D

点评：本题主要考查了由函数部分图象的性质求解函数解析式，然后由所求函数的解析式再进行求解函数的周期、函数的值域、函数的初相及函数的单调区间．