Question

(14分)如图①，直角梯形中，，点分别在上，且，现将梯形A沿折起，使平面与平面垂直(如图②)．
(1)求证：平面；
(2)当时，求二面角的大小．
 

Answer 1

(1)证明：见解析；(2)∠NHD＝30°。

(I)本小题属于翻折问题，本小题可以证明平面AMB//平面DNC即可.
（II）解本小题的关键是作出二面角的平面角，具体做法：过N作NH⊥BC交BC延长线于H，∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，∴DN⊥平面MBCN，从而DH⊥BC，
∴∠DHN为二面角D－BC－N的平面角．
(1)证明：MB∥NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，
∴MB∥平面DNC………………………2
同理MA∥平面DNC，………………….3
又MA∩MB＝M，且MA、MB?平面MAB.
…………………..5
⇒AB∥平面DNC…………………………………7
(2)过N作NH⊥BC交BC延长线于H，……………………….8
∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，
∴DN⊥平面MBCN，从而DH⊥BC，
∴∠DHN为二面角D－BC－N的平面角．………………….11
由MB＝4，BC＝2，∠MCB＝90°知∠MBC＝60°，
CN＝4－2cos60°＝3，∴NH＝3sin60°＝………………….13
由条件知：tanNHD＝＝，∴∠NHD＝30°…………………..14