解:由f(x+
)=-f(x),得f(x+3)=f[(x+
)+
]=-f(x+
)=f(x),则有周期T=3.
又∵f(x)的图象关于点
成中心对称,即f(
+x)=-f(
-x),
令x=
代入上式,得f(-
)=-f(-1),即f(1)=f(-
+
)=-f(-
)=f(-1)=1,
∵f(-1)=1,f(0)=-2,函数的周期是3,
∴f(1+3k)=f(-2)=1,f(2+3k)=f(-1)=1,f(3+3k)=f(0)=-2,其中k是任意整数.
则f(1)+f(2)+…+f(2009)=
[f(1)+f(2)+f(3)]+f(2008)+f(2009)
=669×(1+1-2)+f(1)+f(2)=2.
故答案为:2.
分析:根据题意需要反复给x恰当的值代入
,求出函数的周期,再由函数图象关于点
成中心对称,得到关系式f(
+x)=-f(
-x),利用条件和给x恰当的值求出函数在一个周期上的函数值,故求出一个周期内的函数值的和,根据函数的周期求式子的值.
点评:本题是一道抽象函数问题,题目的设计“小而巧”,解题的关键是巧妙的赋值,利用其奇偶性得到函数的周期性,再利用周期性求函数值.灵活的“赋值法”和反复利用恒等式是解决抽象函数问题的基本方法.