Question

【题目】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AB，BC的中点．

（1）求证：平面B1MN⊥平面BB1D1D；
（2）当点P在DD1上运动时，是否都有MN∥平面A1C1P，证明你的结论；
（3）若P是D1D的中点，试判断PB与平面B1MN是否垂直？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC，则AC⊥BD，

又M，N分别是AB，BC的中点，

∴MN∥AC，∴MN⊥BD．

∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴BB1⊥平面ABCD，

∵MN平面ABCD，∴BB1⊥MN，

∵BD∩BB1=B，∴MN⊥平面BB1D1D，

∵MN平面B1MN，

∴平面B1MN⊥平面BB1D1D．

（2）当点P在DD1上移动时，都有MN∥平面A1C1P．

证明如下：

在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=CC1，AA1∥CC1

∴四边形AA1C1C是平行四边形，

∴AC∥A1C1

由（1）知MN∥AC，

∴MN∥A1C1

又∵MN面A1C1P，A1C1平面A1C1P，

∴MN∥平面A1C1P；

（3）证明：过点P作PE⊥AA1，则PE∥DA，连接BE，

∵DA⊥平面ABB1A1，∴PE⊥平面ABB1A1，即PE⊥B1M，

又∵BE⊥B1M，∴B1M⊥平面PEB，

∴PB⊥MB1，

由（1）中MN⊥平面DD1B1B，得PB⊥MN，

所以PB⊥平面MNB1．

【解析】1、由已知可得BB1⊥平面ABCD，根据线面垂直的判定定理可得证MN⊥平面BB1D1D，即得证平面B1MN⊥平面BB1D1D。
2、根据线面平行的判定定理可得证，当点P在DD1上移动时，都有MN∥平面A1C1P。
3、根据题意作辅助线：过点P作PE⊥AA1，则PE∥DA，连接BE，由已知可得证，PE⊥B1M。再由线面垂直的性质定理得到PB⊥MB1利用（1）的结论可得PB⊥MN，根据线面垂直的判定定理可得证PB⊥平面MNB1．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)，还要掌握直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)的相关知识才是答题的关键．