Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，
（1）若f（x）有一个零点为-1，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意得：
解得：
所以：f（x）=x²+2x+1 …（6分）
（2）由（1）得g（x）=x²+（2-k）x+1当x∈[-2，2]时，g（x）是单调函数的充要条件是：
，
-或
解得：k≥6或k≤-2 …（12分）
分析：（1）由f（-1）=0，可得a-b+1=0，又函数f（x）的值域为[0，+∞），可得二次函数的对称轴，从而可求出a，b的值；
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+1，可得g（x）=x²+（2-k）x+1，由g（x）在x∈[-2，2]时是单调函数，可得，从而得出，解之即可得出k的取值范围．
点评：本题考查了函数的恒成立问题及函数单调性的应用，难度一般，关键是掌握函数单调性的应用．