Question

如图，平面EACF⊥平面ABC，△ABC为边长为a的正三角形，四边形ACFE为正方形，点M在线段EF上，点D为AC的中点．
（1）求证：BD⊥平面EACF；
（2）当M在线段EF的什么位置时，AM∥平面BDF，并证明你的结论；
（3）求平面EFB与平面ABC所成的锐二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）证明线面垂直问题一般用线面垂直的判定定理，由题设条件及图形知，可证明两个平面垂直，再证明这条线在一个平面上且垂直于另一个平面．
（2）当点M为线段EF的中点时，AM∥平面BDF，下面要证明当M是中点时，结论成立，根据线面平行的判定定理得到结论．
（3）以D为原点，DA，DB，DM所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，写出要用的点的坐标，构造向量，设出平面上的法向量，求出法向量，根据两个向量所成的角的余弦值得到要求的结果．

解答：解：（1）证明：∵平面EACF⊥平面ABC，平面EACF∩平面ABC=AC
又∵AB=BC，点D为AC的中点，
∴BD⊥AC∴BD⊥平面EACF．
（2）当点M为线段EF的中点时，AM∥平面BDF．
证明如下：∵M为EF的中点，四边形ACFE为正方形，
∴MF

∥ .

.

AD∴四边形AMFC为平行四边形．
∴AM∥DF∵AM?平面BDF，DF?平面BDF
∴AM∥平面BDF．
（3）以D为原点，DA，DB，DM所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），B（0，

3

2

a，0），M（0，0，a），E（

a

2

，0，a），F（-

a

2

，0，a），
所以

BE

=(

a

2

，-

3

2

a，a)，

BF

=(-

a

2

，-

3

2

a，a)，由于

DM

⊥平面ABC，所以

DM

可以做为平面ABC的法向量，设

n

=(x，y，z)是平面EFB的法向量，则由

n • BE =0 n • BF =0

?

a 2 x- 3 2 ay+az=0 - a 2 x- 3 2 ay+az=0

得

x- 3 y+2z=0 x+ 3 y-2z=0

，所以x=0，z=

3

2

y，令y=2，则

n

=(0，2，

3

)，
设平面EFB与平面ABC所成的锐二面角为θ
则cosθ=|

DM • n

| DM |•| n |

|=

3 a

a× 7

=

21

7

，
所以tanθ=

2 7

21

=

2 3

3

．

点评：本题考查空间中直线与平面之间的平行和垂直关系，用空间向量求解夹角，本题解题的关键是建立坐标系，把理论的推导转化成数字的运算，降低了题目的难度．