Question

设关于x的一元二次方程ax²+bx+1=0
（Ⅰ）设a和b分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求上述方程没有实根的概率；
（Ⅱ）若a是从区间（0，3）内任取的一个数，b=2，求上述方程没有实根的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件根据分步计数原理知是36，满足条件的事件：方程无实根，则△=b²-4a＜0即b²＜4a，通过列举法得到所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率公式求出值；
（Ⅱ）全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，b=2}，其长度d=3，又构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，b=2，b²＜4a}，其长度为d′=2，由此能求出方程有实根的概率

解答：解：（1）基本事件总数为：6×6=36
若方程无实根，则△=b²-4a＜0即b²＜4a
若a=1，则b=1，
若a=2，则b=1，2
若a=3，则b=1，2，3
若a=4，则b=1，2，3
若a=5，则b=1，2，3，4
若a=6，则b=1，2，3，4
∴目标事件个数为1+2+3+3+4+4=17
因此方程ax²+bx+1=0没有实根的概率为

17

36

；
（2）全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，b=2}，其长度d=3，
又构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，b=2，b²＜4a}={（a，b）|1＜a≤3，b=2}，其长度为d′=2，
所以P(A)=

2

3

．

点评：本题考查古典概率及其运算公式以及几何概型，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．