Question

11．在平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，∠DAB=$\frac{π}{3}$，点E，F分别在边AD，BC上，且$\overrightarrow{AD}$=3$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FC}$，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{EF}$的值为18．

Answer 1

分析 运用数量积的定义可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=6，再由向量的加减运算，可得$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$，再由数量积的性质：
向量的平方即为模的平方，可得所求值．

解答 解：$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos$\frac{π}{3}$=4×3×$\frac{1}{2}$=6，
$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$，
即有$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$）
=$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=16+$\frac{1}{3}$×6=18．
故答案为：18．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及数量积的性质，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．