Question

如图，四边形ABCD为矩形，ABEF为梯形，AD=

3

，AB=2AF=2EF=2BE=2，AB∥EF，平面ABCD⊥平面ABEF．
（1）求证：平面DAF⊥平面CBF；
（2）求二面角D-FC-B的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AB中点G，易知四边形EFGB为菱形，从而△GAF为正三角形，证明AF⊥平面CBF，即可证明平面DAF⊥平面CBF；
（2）取CF的中点O，证明∠DOB就是二面角D-FC-B的平面角，即可求二面角D-FC-B的正弦值．

解答： （1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF．∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB…（2分）
又∵四边形ABEF为等腰梯形，且AB=2AF=2EF=2BE=2
取AB中点G，易知四边形EFGB为菱形，从而△GAF为正三角形
∴∠BAF=60°∵AF=

1

2

AB，∴△ABF为直角三角形，∴AF⊥BF…（4分）
∵CB，BF是平面CBF内的两条相交直线，∴AF⊥平面CBF…（5分）
∵AF?平面DAF，∴平面DAF⊥平面CBF…（6分）
（2）解：取CF的中点O，
由（1）可知，在直角△ABF中，BF=

3

∵AD=BC=

3

∴在等腰直角△CBF中，BO⊥CF且CF=

6

，BO=

6

2

…（7分）
在直角△DAF中，AF=1， AD=

3

∴DF=2
∵AB=DC=2∴在等腰△DCF中，DO⊥CF，且DO=

10

2

…（9分）
∴∠DOB就是二面角D-FC-B的平面角 …（10分）
易知DB=

7

，∴在△DOB中，cos∠DOB=

DO2+BO2-BD2

2DO×BO

=-

15

5

∴sin∠DOB=

1-cos2∠DOB

=

10

5

…（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查二面角D-FC-B的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．