Question

下列说法：
①命题“存在x ∈R，2x ≤0”的否定是“对任意的x ∈R，2x ＞0”；
②关于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立，则a的取值范围是a＜3；
③函数f（x）=alog₂|x|+x+b为奇函数的充要条件是a+b=0；
其中正确的个数是（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：①根据含量词的命题的否定对①进行判断；
②不等式恒成立转化成函数的最值进行判断出；
③通过举反例对③进行判断；

解答：解：对于①，据含逻辑连接词的命题否定形式：“存在”变为“任意”，结论否定，故①对
对于②∵0≤sin²x≤1，令sin²x=t，
∴sin²x+

2

sin2x

=t+

2

t

，则令f（t）=t+

2

t

，t∈[0，1]，根据其图象可知，当x＞

2

时，f（t）为递增的，当0＜x≤

2

时，f（t）为递减的，
∵t∈[0，1]，
∴f（t）≥f（1）=1+2=3，
∴sin²x+

2

sin2x

≥3
∵a＜sin²x+

2

sin2x

恒成立时，只要a小于sin²x+

2

sin2x

的最小值即可，
a＜3故②对
对于③当a=1，b=-1时，虽然有a+b=0，但f（x）不是奇函数，故③错，
故选B．

点评：本题考查含量词的命题的否定、不等式恒成立问题，考查的知识点比较多．