Question

2．解关于x的不等式$\frac{x}{x-1}$＞1+a（a∈R）

Answer 1

分析 当x-1＞0时，ax＜a+1；当x-1＜0时，ax＞a+1．由此利用分类讨论思想能求出原不等式的解集．

解答 解：当x-1＞0时，x＞（x-1）（1+a），
整理，得ax＜a+1，
当a=0时，x∈R，∴x＞1；
当a＞0时，x＜$\frac{a+1}{a}$=1+$\frac{1}{a}$，∴1＜x＜1+$\frac{1}{a}$；
当a＜0时，x＞$\frac{a+1}{a}$=1+$\frac{1}{a}$，∴满足条件的x不存在．
当x-1＜0时，x＜（x-1）（1+a），
整理，得ax＞a+1，
当a=0时，无解；
当a＞0时，x＞$\frac{a+1}{a}=1+\frac{1}{a}$，∴满足条件的x不存在；
当a＜0时，x＜$\frac{a+1}{a}$=1+$\frac{1}{a}$，∴x＜1+$\frac{1}{a}$．
综上，当a=0时，原不等式的解集为{x|x＞1}；
当a＞0时，原不等式的解集为{x|1＜x＜1+$\frac{1}{a}$}；
当a＜0时，原不等式的解集为{x|x＜1+$\frac{1}{a}$}．

点评 本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．