Question

对于任意k∈[-1，1]，函数f（x）=x²+（k-4）x-2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是（）

• A、x＜0
• B、x＞4
• C、x＜1或x＞3
• D、x＜1

Answer 1

分析：由函数的解析式得到此函数图象是开口向上的抛物线，根据对称轴公式x=-

b

2a

表示出此函数的对称轴，得到对称轴是关于k的减函数，二次函数的值恒大于0，即可当k取最小值-1时，对称轴在最右边，把k=-1代入f（x）的解析式中求出函数与x轴的交点，即要x大于函数与x轴的右交点；当k取最大值1时，对称轴在最左边，把k=1代入f（x）解析式中求出函数与x轴的交点，即要x小于函数与x轴的左交点，即可得到x的取值范围．

解答：解：根据题意可知：
二次函数的对称轴为x=-

k-4

2

=

-k+4

2

，
设g（k）=

-k+4

2

，得到g（k）在k∈[-1，1]时为减函数，
当k=-1时，f（x）=x²-5x+6，令y=0，变形为（x-2）（x-3）=0，解得x=3或x=2，
因为x的值大于函数与x轴的右交点，得到x＞3；
当k=1时，f（x）=x²-3x+2，令y=0，变形为（x-1）（x-2）=0，解得x=1或x=2，
因为x的值小于函数与x轴的左交点，得到x＜1．
综上，满足题意x的范围为x＜1或x＞3．
故选C

点评：此题考查学生掌握二次函数的图象与性质，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．