Question

【题目】设n∈N* ， f（n）=3n+7n﹣2．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，

∴f（1）=3+7﹣2=8，

f（2）=32+72﹣2=56，

f（3）=33+73﹣2=368

（2）证明：用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，f（1）=3+7﹣2=8，成立；

②假设当n=k时成立，即f（k）=3k+7k﹣2能被8整除，

则当n=k+1时，

f（k+1）=3k+1+7k+1﹣2

=3×3k+7×7k﹣2

=3（3k+7k﹣2）+4×7k+4

=3（3k+7k﹣2）+4（7k+1），

∵3k+7k﹣2能被8整除，7k+1是偶数，

∴3（3k+7k﹣2）+4（7k+1）一定能被8整除，

即n=k+1时也成立．

由①②得：对任意正整数n，f（n）是8的倍数

【解析】（1）由n∈N* ， f（n）=3n+7n﹣2，分别取n=1，2，3，能求出f（1），f（2），f（3）的值．（2）利用用数学归纳法能证明对任意正整数n，f（n）是8的倍数．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值的相关知识，掌握函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法．