Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD， ，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．

（1）求证：EF⊥平面BCF；
（2）点M在线段EF（含端点）上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=CD=BC=1，

又∵ ，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3．…∴AB2=AC2+BC2．∴BC⊥AC．…

∵CF⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥CF，… 而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．…

∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF．…

（2）由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示建立空间直角坐标系，

令FM=λ（ ），则C（0，0，0），A（ ，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），…

∴ =（﹣ ，1，0）， =（λ，﹣1，1），

设 为平面MAB的一个法向量，

由 得 取x=1，则 =（1， ， ），…

∵ =（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，

∴ = ．

∵ ，∴当λ=0时，cosθ有最小值 ，…

∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为 ．

【解析】1、由题意可得AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．∴BC⊥AC．根据线面垂直的判定定理可得EF⊥平面BCF2；
2、建立空间直角坐标系由向量可得c o s θ==,∵ ，∴当λ=0时，cosθ有最小值 ,点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为 ．