Question

若函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的值域恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]叫做等域区间．如果函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数，则实数m的取值范围

(-1，-

3

4

)

．

Answer 1

分析：根据函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数建立方程组，消去b，求出a的取值范围，转化成关于a的方程a²+a+m+1=0在区间（-1，-

1

2

）内有实数解进行求解．

解答：解：因为函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数，
所以当x∈[a，b]时，
 g（a）=b g（b）=a  即a²+m=b，b²+m=a，
两式相减得a²-b²=b-a，
即b=-（a+1），
代入a²+m=b得a²+a+m+1=0，
由a＜b＜0，
且b=-（a+1）
得-1＜a＜-

1

2

，
故关于a的方程a²+a+m+1=0在区间（-1，-

1

2

）内有实数解，
记h（a）=a²+a+m+1，
则 h（-1）＞0，h（-

1

2

）＜0，
解得m∈（-1，-

3

4

）．
故答案为：（-1，-

3

4

）．

点评：本题主要考查了新的定义，以及函数的值域，同时考查了等价转化的数学思想，属于中档题．