Question

【题目】椭圆的左、右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点， 内切圆面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，连接并延长分别交直线于两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）和．

【解析】试题分析：（1）首先设，然后根据离心率得到与的关系，再根据三角形面积取得最大值时点为短轴端点，由此求得的值，从而求得椭圆方程；（2）首先设出直线的方程，并联立椭圆方程，然后利用韦达定理结合向量数量积的坐标运算求得定点坐标．

试题解析：（1）已知椭圆的离心率为，不妨设， ，即，其中，

又内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，由，

由为定值，因此也取得最大值，即点为短轴端点，

因此， ，解得，

则椭圆的方程为．

（2）设直线的方程为， ， ，联立可得

，则， ，

直线的方程为，直线的方程为，

则， ，

假设为直径的圆是否恒过定点，

则， ，

，

即，

即，

，

即，若为直径的圆是否恒过定点，即不论为何值时， 恒成立，因此， ， 或，即恒过定点和．