Question

下列对于函数y=sinx+cosx的命题中，正确命题的序号为

 

．
①存在α∈(0，

π

2

)，使f(α)=

4

3

；②存在α∈(0，

π

2

)，使f（x+α）=f（x+3α）；③存在θ∈R使函数f（x+θ）的图象关于y轴对称；④函数f（x）的图象关于点(

3

4

π，0)对称．

Answer 1

分析：化简函数y=sinx+cosx为

2

sin（x+

π

4

），确定函数的值域，判断①的错误；找出特殊值判断②；函数的对称轴判断③的正误；(

3

4

π，0)代入函数成立，说明④正确．

解答：解：函数y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），α∈(0，

π

2

)时 y∈（1，

2

]，因为

4

3

∈（1，

2

]，所以①正确．
f（x+α）=f（x+3α）说明2α是函数的周期，函数f（x）的周期为2π，显然②不正确；
③存在θ∈R使函数f（x+θ）的图象关于y轴对称，函数f（x）是周期函数，并且有对称轴，适当平移即可满足题意，所以正确．
④函数f（x）的图象关于点(

3

4

π，0)对称，当x=

3π

4

时f（

3π

4

）=0，满足题意，所以正确．
故答案为：①③④

点评：本题是综合题目，考查正弦函数的图象及性质，能够充分利用已知条件，灵活解题是关键，考查分析问题解决问题的能力．