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14.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=20,BC=13,AA1=12,过点A1D1的平面α与棱AB和CD分别交于点E、F,四边形A1EFD1为正方形.
(1)在图中请画出这个正方形(注意虚实线,不必写作法),并求AE的长;
(2)问平面α右侧部分是什么几何体,并求其体积.

分析 (1)由长方体的结构特征能求出交线围成的正方形A1EFD1,在Rt△A1AE中,由勾股定理能求出AE的长.
(2)平面α右侧部分的几何体是以A1EBB1和为底面的直四棱柱,由棱柱体积公式得该直四棱柱的体积.

解答 解:(1)交线围成的正方形A1EFD1如图所示(不分实虚线的酌情给分)…(3分)
∵A1D1=A1E=13,A1A=12,
在Rt△A1AE中,
由勾股定理知AE=$\sqrt{{A}_{1}{E}^{2}-A{{A}_{1}}^{2}}$=5.…(6分)
(2)平面α右侧部分的几何体是以A1EBB1和为底面的直四棱柱,(棱柱或四棱柱均不扣分)
由棱柱体积公式得该直四棱柱的体积:
V=${S}_{梯形{A}_{1}EB{B}_{1}}×BC$=$\frac{1}{2}×(20+15)×12$×13=2730.
(由体积之差法也不扣分)….(12分)

点评 本题考查满足条件的正方形的作法,考查线段长的求法,考查几何体的体积的求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力,考查转化化归思想、数形结合思想,是中档题.

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