Question

（2006•奉贤区一模）已知x、y之间满足

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)
（1）方程

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)表示的曲线经过一点(

3

，

1

2

)，求b的值
（2）动点（x，y）在曲线

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0）上变化，求x²+2y的最大值；
（3）由

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)能否确定一个函数关系式y=f（x），如能，求解析式；如不能，再加什么条件就可使x、y之间建立函数关系，并求出解析式．

Answer 1

分析：（1）根据题意把点(

3

，

1

2

)代入曲线的方程

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)可得答案．
（2）由题意可得：x2=4(1-

y2

b2

)，所以x2+2y=-

4

b2

(y-

b2

4

)2+

b2

4

+4(-b≤y≤b)，再利用二次函数的有关性质求出其最大值．
（3）根据函数的定义可得曲线的方程不能表示函数，并且结合函数的定义若x、y满足xy＜0时，x、y之间能够建立函数关系，并且根据方程也可以得到函数解析式．

解答：解：（1）由题意可得：曲线经过一点(

3

，

1

2

)，
所以

3 2

4

+

1

4b2

=1(b＞0)，
解得：b=1．（4分）
（2）根据

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)得x2=4(1-

y2

b2

)（5分）
所以x2+2y=4(1-

y2

b2

)+2y=-

4

b2

(y-

b2

4

)2+

b2

4

+4(-b≤y≤b)（7分）
当

b2

4

≥b时，即b≥4时(x2+2y)max=2b+4，
当

b2

4

≤b时，即0≤b≤4时(x2+2y)max=

b2

4

+4
∴(x2+2y)max=

2b+4，(b≥4) b2 4 +4，(0≤b＜4)

（10分）
（2）不能；                                                 （11分）
如再加条件xy＜0就可使x、y之间建立函数关系，（12分）
并且解析式y=

- 1- x2 b2  (x＞0) 1- x2 b2 ，(x＜0)

．（14分）

点评：本题主要考查椭圆的标准方程与二次函数的性质，以及函数的有关定义，此题属于中档题．