考点:利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性
专题:导数的综合应用
分析:(1)求导,根据的导函数与0的关系求出单调区间,
(2)①先求导,f′(0)=0,令g(x)=ex-a(x+2),再求导,判断根的范围
②利用分析法进行求证,要证:x1+x2+x3>-2.只要证:x1+x2>-2,只要证ex2-e-2-x2-2a(x2+1)<0,转化为只要证x2ex2+(x2+2)e-x2-2>0,
求导,判断增减性,问题得以证明.
解答:
解:(1)当a=0时,f(x)=
,x≠-1,
∴
f′(x)=,
当f′(x)<0时,x在(-∞,-1)和(-1,0)上,f(x)单调递减,
当f′(x)>0时,x在(0,+∞)上,f(x)单调递增,
(2)①∵f(x)=
,
∴f′(x)=
首先f′(0)=0,令g(x)=e
x-a(x+2),则g(x)=0应有两个既不等于0也不等于-1的根,
求导可得,g′(x)=e
x-a,
此时,g′(x)=e
x-a=0有唯一的根x
0=lna,并且x
0是g(x)的极小值点,
要使g(x)=0有两根,只要g(x
0)<0即可,(因为当x→+∞和x→-∞时,g(x)=e
x-a(x+2)→+∞)
由
g(x0)=e
lna-a(lna+2)=-a(lna+1)<0,得a
>,
又由g(0)≠0,得a
≠,
反过来,若
a>且a≠时,则g(-1)=
-a<0,g(x)=0的两根中,一个大于-1,另一个小于-1,
于是在定义域中,连同x=0,f′(x)=0共有三个相异实根,并且在这三个根的左右,f′(x)的正负变号,它们就是f(x)的三个极值点,
综上,a的取值范围是
(,)∪(,+∞);
②证明由①可知f(x)有三个极值点x
1,x
2,x
3中,两个是g(x)=0的两根(不妨设为x
1,x
2,其中x
1<-1<x
2),另一个为 x
3=0,
要证:x
1+x
2+x
3>-2.
只要证:x
1+x
2>-2,
即只要证明x
1>-x
2-2,
因为g(x)在(-∞,lna)上单调递减,其中lna>-1,
故只要证g(x
1)<g(-2-x
2),其中g(x
1)=g(x
2)=0,
只要证g(x
2)<g(-2-x
2),
而
ex2-a(x2+2)<e-2-x2-a[(-2-x2+2]
只要证
ex2-e-2-x2-2a(x2+1)<0,
由g(x
2)=
ex2-a(x2+2)=0,得a=
,由此代入上述不等式,只要证明
ex2-e-2-x2-
(x2+1)<0,
只要证
x2ex2+(x2+2)e-x2-2>0,
令h(x)=xe
x+(x+2)e
-x-2,
当x>-1时,h′(x)=(x+1)e
x-(x+1)e
-x-2=(x+1)(e
x-e
-x-2)>0,h(x)单调递增,而h(-1)=0,
所以当x>-1时,h(x)>0,
于是证
x2ex2+(x2+2)e-x2-2>0,
即:x
1+x
2+x
3>-2.
点评:本题主要考查了导数与函数的单调性和极值的关系,以及利用分析法证明,同时考查了运算能力,分析问题的能力,属于难题.