Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，CD=6，AD=3，E为CD上一点，且DE=4，过E作EF∥AD交BC于F现将△CEF沿EF折起到△PEF，使∠PED=60°，如图2．
（I）求证：PE⊥平面ADP；（II）求异面直线BD与PF所成角的余弦值；
（III）在线段PF上是否存在一点M，使DM与平在ADP所成的角为30°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）解法一：∵DE=4，PE=2，∠PED=60°，由弦定理得PD=2，
∵PD²+PE²=16=DE²，∴PE⊥PD．∵EF⊥PE，EF⊥DE∴，EF⊥平面PDE，又∵EF∥AD，∴AD⊥平面PDE，∴AD⊥PE，又∵直线AD，PD在平面APD内，且相交于D，∴PE⊥平面APD．
解法二：EF⊥PE，EF⊥DE∴，EF⊥平面PDE∴平面DEF⊥平面PDE
以DA所在的直线为 x轴，以DE所在的直线为y轴，在平面DPE内过D作DE的垂线，以垂线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图
则D（0，0，0），A（3，0，0），P（0，3，），E（0，4，0）
∴=（3，0，0），=（0，3，），=（0，-1，）．∵•=0，•=0，∴⊥，⊥∴DA⊥EP，DP⊥EP，∵DA，DP是平面ADP内的相交直线，∴PE⊥平面APD．
（II）由（I）知AD⊥平面PDE，∴平面ADE⊥平面PDE
以DA所在的直线为 x轴，以DE所在的直线为y轴，在平面DPE内过D作DE的垂线，以垂线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图
则D（0，0，0），A（3，0，0），P（0，3，），E（0，4，0），F（，4，0），B（3，2，0），∴=（3，2，0），=（，1，-）
∴=
设BD与PF所成的角为θ，则θ=，∴
（III）由（II）知=（0，-1，）.=（，1，-）
∵PE⊥平面ADP，∴平面ADP的法向量为==（0，-1，）．
设M是线段PF上一点，则存在0≤λ≤1，
使∴═（0，3，）+λ（，1，-）=（，λ+3，）
.==，如果直线DM与平面ADC所成的角为30°，
那么||=sin30°，即=解得
∵此方程在[0，1]内无解，
∴在在线段PF上不存在一点M，使DM与平在ADP所成的角为30°．
分析：（I）由题设条件及图形知，本题可采用两种方法求解，
法一，证明AD⊥PE，PE⊥PD，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
法二，用向量法，建立如图的坐标系，根据题设条件写出各点的坐标，易得直线PE的方向向量与面内两直线AD，PD的方向向量，用数量积证明即可；
（II）本题用向量法比较方便，借助（I）中的坐标系，易得两异面直线的方向向量，用数量积求两异面直线的夹角的余弦值或其补角的余弦值；
（III）先假定存在，设出点M的坐标，由线面垂直的条件寻求满足题意的条件，根据DM与平在ADP所成的角为30°，建立方程求参数，为了解答本题，需要求出平面的法向量与直线DM的方向向量．然后利用相关规则求夹角的余弦，令其值等于sin30°，建立方程求参数，若能求出符合条件的参数，则说明存在，否则，说明不存在．
点评：本题考查用向量法证明线面垂直，求两异面直线所成的角，验证是否存在一点M使得DM与平在ADP所成的角为30°的问题，用向量法解决此类问题大大降低了解题难度，是解此类题的一个优先扶把思路．