Question

某超市为促销商品，特举办“购物有奖100%中奖”活动，凡消费者在该超市购物满100元，享受一次摇奖机会，购物满200元，享受两次摇奖机会，以此类推.摇奖机的结构如图所示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落。小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋为一等奖，奖金为20元，落入B袋为二等奖，奖金为10元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是。
（Ⅰ）求：摇奖两次，均获得一等奖的概率；
（Ⅱ）某消费者购物满200元，摇奖后所得奖金为X元，试求X的分布列与期望；
（Ⅲ）若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费200元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算。

Answer 1

解：记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B， 则小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下， 故，， （Ⅰ）获得两次一等奖的概率为； （Ⅱ）X可以取20，30，40， P(X=20)=，P(X=30)=， P(X=40)=， 所以，分布列为： X 20 30 40 P 所以，EX=20×+30×+40×=25。 （Ⅲ）参加摇奖，可节省25元，打折优惠，可节省24元，参加摇奖。