Question

16．已知：$f（x）=lg\frac{ax+1}{1-x}$，a∈R且a≠-1
（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅲ）若函数f（x）在[10，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，根据函数奇偶性的定义建立方程，即可求实数a的值；
（Ⅱ）根据对数函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域；
（Ⅲ）根据函数单调性的定义进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），即$lg\frac{-ax+1}{1+x}=-lg\frac{ax+1}{1-x}$，
有$\frac{-ax+1}{1+x}=\frac{1-x}{ax+1}$，得1-a²x²=1-x²，解得：a=1；--------------（3分）
（Ⅱ）当a＞0时，由$\frac{ax+1}{1-x}＞0$得$\frac{{x+\frac{1}{a}}}{1-x}＞0$，即$（x+\frac{1}{a}）（x-1）＜0$．
因为$-\frac{1}{a}＜1$，所以函数的定义域为$（{-\frac{1}{a}，\;1}）$-----------------（5分）
当a＜0且a≠-1时，得$\frac{{x+\frac{1}{a}}}{1-x}＜0$，即$（x+\frac{1}{a}）（x-1）＞0$．
①a＜-1时，$-\frac{1}{a}＜1$，所以函数的定义域为$（{-∞，-\frac{1}{a}}）∪（{1，+∞}）$；
②-1＜a＜0，$-\frac{1}{a}＞1$，所以函数的定义域为$（{-∞，1}）∪（{-\frac{1}{a}，+∞}）$．
当a=0时，$f（x）=lg\frac{1}{1-x}$函数的定义域为（-∞，1）-------------------（8分）
（Ⅲ）∵f（x）在[10，+∞）上是增函数，
∴$\frac{10a+1}{1-10}＞0$，∴$a＜-\frac{1}{10}$．----------（9分）
又$f（x）=lg\frac{ax+1}{1-x}=lg（-a+\frac{1+a}{1-x}）$，故对任意的x₁，x₂，
当10≤x₁＜x₂时，恒有f（x₁）＜f（x₂）即$lg（-a+\frac{1+a}{{1-{x_1}}}）＜lg（-a+\frac{1+a}{{1-{x_2}}}）$，
∴$\frac{1+a}{{1-{x_1}}}＜\frac{1+a}{{1-{x_2}}}$，---------------------------------------------------------------------（12分）
∴$（1+a）（\frac{1}{{1-{x_1}}}-\frac{1}{{1-{x_2}}}）＜0$，又∵$\frac{1}{{1-{x_1}}}＜\frac{1}{{1-{x_2}}}$，∴1+a＞0∴a＞-1
综上可知$-1＜a＜-\frac{1}{10}$．------------------------------------------------------------（14分）

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，根据对数函数的性质，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键..