Question

四棱锥P—ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，侧棱，，M、N两点分别在侧棱PB、PD上，.

(1)求证：PA⊥平面MNC。
(2)求平面NPC与平面MNC的夹角的余弦值．

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线面垂直、二面角等数学知识，考查学生用向量法解决立体几何的能力，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.第一问，连结AC、BD交于O，则在三角形APC中可知，在三角形PBO中，利用三边长，可知，利用线面垂直的判定得平面ABCD，所以建立空间直角坐标系，得到各个点的坐标，得到和平面MNC的法向量的坐标，可求出//，所以平面MNC；第二问，利用平面NPC的法向量垂直于和得到法向量的坐标，利用夹角公式得到夹角的余弦值.
试题解析：设菱形对角线交于点，易知且
又.由勾股定理知，
又
 平面                      3分
建立如图空间直角坐标系，，
，，
，                    5分

⑴显然，，平面的法向量
，由∥，知平面            8分    
⑵设面的法向量为 由
取，得                             10分

所以平面与平面的夹角的余弦值为.    12分