Question

3．函数f（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$的反函数是f^-1（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{2x}$，（x∈[-1，0）∪[-1，+∞））．

Answer 1

分析 先令y=f（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$，用y表示出x，再交换x，y的位置，即得所求的反函数．

解答 解：函数f（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$的定义域为（-∞，-1]∪[1，+∞）；
当x∈（-∞，-1]时，y∈[-1，0），
当x∈[1，+∞）时，y∈[-1，+∞）；
故函数f（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$的值域为：[-1，0）∪[-1，+∞）；
由y=f（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$得：y-x=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
平方得：y²-2xy+x²=x²-1，即2xy=y²+1，
即x=$\frac{{y}^{2}+1}{2y}$，
故函数f（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}-1}$的反函数是f^-1（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{2x}$，（x∈[-1，0）∪[-1，+∞）），
故答案为：$\frac{{x}^{2}+1}{2x}$，（x∈[-1，0）∪[-1，+∞））

点评 本题考查反函数，解题关键是掌握住反函数的定义，由定义求出反函数的解析式，本题有一易漏点，即忘记求出函数的定义域，对于求函数的解析式的题，一般要求出函数的定义域