Question

已知常数a、b、c都是实数，f（x）=ax³+bx²+cx-34的导函数为f′（x），f′（x）≤0的解集为{x|-2≤x≤3}，若f（x）的极小值等于-115，则a的值是（　　）

• A、-  

  81

  22

• B、

  1

  3

• C、2
• D、5

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数的运算

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：把条件“不等式f'（x）≤0的解集为{x|-2≤x≤3}”转化为3ax²+2bx+c≤0的解集为{x|-2≤x≤3}；从而可得

a＞0，         -2+3=- 2b 3a -2×3= c 3a

，从而求解．

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx-34，
∴f'（x）=3ax²+2bx+c．
∵不等式f'（x）≤0的解集为{x|-2≤x≤3}，
∴不等式3ax²+2bx+c≤0的解集为{x|-2≤x≤3}．
∴

a＞0，         -2+3=- 2b 3a -2×3= c 3a

，
即

a＞0，    b=- 3a 2 c=-18a

，
∴f(x)=a x3-

3a

2

x2-18ax-34．
根据已知得当x=-2时，f（x）取得极大值，当时x=3时，f（x）取得极小值．
∴f( 3 )=27a-

27a

2

-54a-34=-115，
解得a=2．
故选C．

点评：本题考查函数与导数．考查函数极值、方程的思想方法，较好地体现了高考类似设题思想，体现知识与方法的交汇．