练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    12．已知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．其左右焦点分别为F1、F2．
    （1）若动点T（x，y）满足$\overrightarrow{T{F}_{1}}$•$\overrightarrow{T{F}_{2}}$=2x2+3，求动点T的轨迹方程；
    （2）若S为椭圆C上一动点，S点在x轴上的投影是D，求DS的中点W的轨迹方程；
    （3）过椭圆C内一点A（1，1）作动弦MN，求MN中点Q的轨迹方程；
    （4）过点P（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．

    分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示，即可得到所求轨迹方程；
    （2）设S（u，v），即有D（u，0），W（u，$\frac{1}{2}$v），由代入法，即可得到所求轨迹方程；
    （3）设M（m，n），N（s，t），代入椭圆方程，由点差法，结合中点的坐标公式和直线的斜率公式，即可得到所求轨迹方程；
    （4）设出直线方程，代入椭圆方程，再由以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB，可得$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，运用向量的加法坐标运算，由消去参数，即可得到所求轨迹方程．

    解答 解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1的F1（-1，0），F2（1，0），
    $\overrightarrow{T{F}_{1}}$•$\overrightarrow{T{F}_{2}}$=2x2+3，可得（-1-x）（1-x）+y2=2x2+3，
    化简可得y2-x2=4；
    （2）设S（u，v），即有D（u，0），W（u，$\frac{1}{2}$v），
    令x=u，y=$\frac{1}{2}$v，即为u=x，v=2y，由椭圆方程可得W的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1；
    （3）设M（m，n），N（s，t），即有
    $\frac{{m}^{2}}{4}$+$\frac{{n}^{2}}{3}$=1，$\frac{{s}^{2}}{4}$+$\frac{{t}^{2}}{3}$=1，
    两式相减可得$\frac{（m-s）（m+s）}{4}$+$\frac{（n-t）（n+t）}{3}$=0，
    由m+s=2，n+t=2，kMN=$\frac{n-t}{m-s}$，可得kMN=-$\frac{3}{4}$，
    则MN中点Q的轨迹方程为y-1=-$\frac{3}{4}$（x-1），即为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$；
    （4）设P（3，0）的直线l：y=k（x-3），代入椭圆方程可得
    （3+4k2）x2-24k2x+36k2-12=0，
    由△＞0可得k2＜$\frac{3}{5}$，
    设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=$\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
    y1+y2=k（x1+x2-6）=$\frac{-18k}{3+4{k}^{2}}$，
    由以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB，可得$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
    即有（x，y）=（x1+x2，y1+y2），
    即为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}\\{y=-\frac{18k}{3+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，消去k，可得3x2+4y2-18x=0（0≤x≤$\frac{8}{3}$）．

    点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用直接法、点差法和代入法，坐标转移法，考查运算能力，属于中档题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    19．tan（-675°）的值等于1．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    3．函数y=sin（-3x+$\frac{π}{4}$），x∈R在什么区间上是增函数？

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    20．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB=$\frac{π}{4}$，记该设施平面图的面积为S（x）m2，∠AOB=xrad，其中$\frac{π}{2}$＜x＜π．
    （1）写出S（x）关于x的函数关系式；
    （2）如何设计∠AOB，使得S（x）有最大值？

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    7．设正四棱台ABCD-A′B′C′D′中的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长度为2，求这个棱台的高和斜高．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    17．若x，y∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，且xsinx-ysiny＞0，那么下面关系正确的是（　　）
    A．x＞yB．x+y＞0C．x＜yD．x2＞y2

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    4．已知函数g（x）=log2（3x-1），f（x）=log2（x+1），
    （1）求不等式g（x）≥f（x）的解集；
    （2）在（1）的条件下求函数y=g（x）+f（x）的值域．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    1．f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，}&{x≤-1}\\{{x}^{2}，}&{-1＜x＜2}\\{2x，}&{x≥2}\end{array}\right.$，若f（x0）=3，则x0=（　　）
    A．3B．$\sqrt{3}$C．2D．$\sqrt{2}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    2．将函数y=f（x）的图象先向左平移$\frac{π}{4}$个单位，然后向上平移1个单位，得到函数y=2cos2x的图象，则f（x-$\frac{7π}{2}$）是（　　）
    A．-sin2xB．-2cosxC．2sinxD．2cosx

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案