Question

在数列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N*，p为常数），则{a_n}称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：
①若{a_n}为等方差数列，则{a_n²}是等差数列；
②{（-1）ⁿ}是等方差数列；
③若{a_n}是等方差数列，则{a_kn}（k∈N^*，k为常数）也是等方差数列．
其中正确命题序号为

①②③

．

Answer 1

分析：根据“等方差数列”的定义，数列{a_n}中，若an2-an-12=p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则{a_n}称为“等方差数列”，我们逐一判断①②③中的三个数列是否满足等方差数列的定义，可得答案．

解答：解：①∵{a_n}是等方差数列，
∴a_n²-a_n-1²=p（p为常数）
∴{a_n²}是等差数列，故①正确；
②数列{（-1）ⁿ}中，a_n²-a_n-1²=[（-1）ⁿ]²-[（-1）^n-1]²=0，
∴{（-1）ⁿ}是等方差数列；故②正确；
③数列{a_n}中的项列举出来是，a₁，a₂，…，a_k，…，a_2k，…
数列{a_kn}中的项列举出来是，a_k，a_2k，…，a_3k，…，
∵（a_k+1²-a_k²）=（a_k+2²-a_k+1²）=（a_k+3²-a_k+2²）=…=（a_2k²-a_2k-1²）=p
∴（a_k+1²-a_k²）+（a_k+2²-a_k+1²）+（a_k+3²-a_k+2²）+…+（a_2k²-a_2k-1²）=kp
∴（a_kn+1²-a_kn²）=kp
∴{a_kn}（k∈N^*，k为常数）是等方差数列；故③正确；
故答案为：①②③

点评：本题考查等差数列的定义及其应用，解题时要注意掌握数列的概念，属基础题．