Question

18．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2．
（1）求BC₁与平面ABCD所成角的余弦值；
（2）证明：AC₁⊥BD；
（3）求AC₁与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由题意，BC₁与平面ABCD所成角就是∠C₁BC，即可求出BC₁与平面ABCD所成角的余弦值；
（2）证明BD⊥平面ACC₁，即可证明AC₁⊥BD；
（3）AC₁与平面ABCD所成角就是∠C₁AC，即可求AC₁与平面ABCD所成角的余弦值．

解答 （1）解：由题意，BC₁与平面ABCD所成角就是∠C₁BC，tan∠C₁BC=2，∴cos∠C₁BC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（2）证明：因为BD⊥AC，BD⊥CC₁，AC∩CC₁=C，所以BD⊥平面ACC₁，∴AC₁⊥BD；
（3）解：AC₁与平面ABCD所成角就是∠C₁AC，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，
∴AC₁=$\sqrt{6}$，
∴cos∠C₁AC=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查空间角，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．