【题目】如图,在正方体中,E、F、G、H分别是棱、、、的中点.
(1)判断直线与的位置关系,并说明理由;
(2)求异面直线与所成的角的大小.
【答案】(1)直线与相交;详见解析(2)
【解析】
(1) 延长与必交于C右侧一点P,延长与必交于C右侧一点Q,证明P与Q重合,从而得到答案.
(2)由,可得,则与所成的角即为与所成的角,然后在三角形中求解.
解:(1)取的中点
∵E、F、I分别是正方形中、、的中点
∴
∴在平面中,延长与必交于C右侧一点P,且
同理,在平面中,延长与必交于C右侧一点Q,且
∴P与Q重合
进而,直线与相交
方法二:∵在正方体中,E、H分别是、的中点
∴
∴是平行四边形
∴
又∵F、G分别是、的中点
∴
∴,
∴、是梯形的两腰
∴直线与相交
(2)解:∵在正方体中,
∴是平行四边形
∴
又∵E、F分别是、的中点
∴
∴
∴与所成的角即为与所成的角
(或:与所成的角即为及其补角中的较小角)①
又∵在正方体中,为等边三角形
∴②
∴由①②得直线与所成的角为
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【题目】随着互联网经济逐步被人们接受,网上购物的人群越来越多,网银交易额也逐年增加,某地连续五年的网银交易额统计表,如表所示:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
网银交易额(亿元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
经研究发现,年份与网银交易额之间呈线性相关关系,为了计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,,,得到如表:
时间代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(1)求关于的线性回归方程;
(2)通过(1)中的方程,求出关于的回归方程;
(3)用所求回归方程预测2020年该地网银交易额.
(附:在线性回归方程中,,)
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【题目】下列说法中错误的为
A.已知,,且与的夹角为锐角,则实数的取值范围是
B.向量,不能作为平面内所有向量的一组基底
C.若,则在方向上的正射影的数量为
D.三个不共线的向量,,,满足,则是的内心
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【题目】某社会研究机构,为了研究大学生的阅读习惯,随机调查某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明,其中男女各一半,男生中有表示会读,女生中有表示不会读.
(1)根据调查结果,得到如下2╳2列联表:
男 | 女 | 总计 | |
读营养说明 | |||
不读营养说明 | |||
总计 |
(2)根据以上列联表,进行独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系?
P(K2≥k) | 0.10 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k | 2.706 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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【题目】如图,在四棱锥中,四边形为梯形, ,且, 是边长为2的正三角形,顶点在上的射影为点,且, , .
(1)证明:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
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【题目】年微信用户数量统计显示,微信注册用户数量已经突破亿.微信用户平均年龄只有岁, 的用户在岁以下, 的用户在岁之间,为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信的数量,现在从北京大学生中随机抽取位同学进行了抽样调查,结果如下:
微信群数量 | 频数 | 频率 |
至个 | ||
至个 | ||
至个 | ||
至个 | ||
个以上 | ||
合计 |
()求, , 的值.
()若从位同学中随机抽取人,求这人中恰有人微信群个数超过个的概率.
()以这个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率,若从全市大学生中随机抽取人,记表示抽到的是微信群个数超过个的人数,求的分布列和数学期望.
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【题目】已知椭圆与直线y=x-2相切,设椭圆的上顶点为M, 是椭圆的左右焦点,且⊿M为等腰直角三角形。(1)求椭圆的标准方程;(2)直线l过点N(0,-)交椭圆于A,B两点,直线MA、MB分别与椭圆的短轴为直径的圆交于S,T两点,求证:O、S、T三点共线。
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