Question

【题目】某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资.

（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；

（2）已知该厂现有2名维修工人.

（ⅰ）记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望；

（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）是.

【解析】

（1）由该工厂只有1名维修工人，所以要使工厂能正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障．利用二项分布计算公式即可得出．
（2）X的可能取值为34，46，58．利用二项分布列的计算公式即可得出概率分布列．

（1）因为该厂只有1名维修工人，

所以要使工厂正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障，

故该工厂能正常运行的概率为.

（2）（ⅰ）的可能取值为34，46，58，

，

，

，

则的分布列为

故.

（ⅱ）若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为万元.

因为，所以该厂应再招聘1名维修工人.