Question

【题目】设函数 ，其中0＜a＜1，
（1）证明：f（x）是（a，+∞）上的减函数；
（2）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由1﹣ ＞0，得x＞a，所以函数f（x）的定义域为（a，+∞）．

设a＜x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）= ﹣ ，

因为 = ＜0，所以1﹣ ＜1﹣ ，

又0＜a＜1，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

所以f（x）是（a，+∞）上的减函数

（2）f（x）＞1，即 ＞1，也即即 ＞logaa，

又0＜a＜1，所以0＜1﹣ ＜a，解得a＜x＜ ．

所以不等式的解集为：（a， ）

【解析】（1）利用减函数的定义即可证明；（2）化成同底的对数式，利用对数函数的单调性可得真数的大小关系，解出即可．
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和对数函数的单调性与特殊点，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；过定点（1，0），即x=1时，y=0;a>1时在（0，+∞）上是增函数;0>a>1时在（0，+∞）上是减函数即可以解答此题．