Question

17．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3\sqrt{7}}{4}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），求sinα的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[-π，π]上的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由题意，利用辅助角公式将f（x）化简为正弦型函数，利用已知条件分别求出ω，φ的值，即求出f（x）的函数表达式，将x=$\frac{π}{4}$-α代入求出sinα的值；
（2）利用函数图象变换得到g（x）的解析式，再求出[-π，π]上的单调递减区间．

解答 解：（1）由题意得：f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），
又因为f（x）为偶函数，所以φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，（k∈Z），
又因为0＜φ＜π，所以φ=$\frac{2π}{3}$，
又因为f（x）的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，所以$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，
所以ω=2，
所以f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}$）=2cos2x，
所以f（$\frac{π}{4}$-α）=2cos（$\frac{π}{2}$-2α）=$\frac{3\sqrt{7}}{4}$，
所以sin2α=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
又因为α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
所以2α∈（$\frac{π}{2}$，π），
所以cos2α=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=-$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{7}}{8}）^{2}}$=-$\frac{1}{8}$，
又因为cos2α=1-2sin²α=-$\frac{1}{8}$，
所以sinα=$\frac{3}{4}$或-$\frac{3}{4}$（舍），
所以sinα=$\frac{3}{4}$；
（2）由（1）可知，f（x）=2cos2x，
所以g（x）=2cos（x-$\frac{π}{3}$），
当2kπ≤x-$\frac{π}{3}$≤π+2kπ（k∈Z）即$\frac{π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{4π}{3}$+2kπ（k∈Z）时，函数为减函数，
又因为x∈[-π，π]，所以减区间为[-π，-$\frac{2π}{3}$]，[$\frac{π}{3}$，π]．

点评 （1）本题主要考察了学生对三角函数性质的掌握，解题关键在于三角恒等变换以及二倍角公式的熟练应用；（2）考察了函数图象的变换，关键在于学生对三角函数单调区间求法的掌握．