Question

20、由0，1，2，3，4，5这六个数字．
（1）能组成多少个无重复数字的四位数？
（2）能组成多少个无重复数字且被25整除的四位数？
（3）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个

Answer 1

分析：（1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有C₅¹种结果，余下的五个数字在五个位置进行全排列，共有A₅³种结果，根据乘法原理得到结果．
（2）被25整除的数字包括两种情况，一是最后两位是25，需要先从余下的非0数字中选一个做首位，剩下的三个数字选一个放在第二位，二是最后两位数字是50，共有A₄²种结果，根据加法原理得到结果．
（3）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，当首位是4时，第二位从1，2，3，5四个数字中选一个，后两位没有限制，当前两位是40时，当前三位是403时，分别写出结果数，相加得到结果．

解答：解：（1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，
∴先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有C₅¹种结果，
余下的五个数字在五个位置进行全排列，共有A₅³种结果，
根据分步计数原理知共有A¹₅•A³₅=300

（2）被25整除的数字包括两种情况，一是最后两位是25，
需要先从余下的非0数字中选一个做首位，
剩下的三个数字选一个放在第二位，共有A₃¹A₃¹种结果，
二是最后两位数字是50，共有A₄²种结果，
根据分类计数原理知共有A¹₃A¹₃+A²₄=21

（3）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，共有A₅³=60，
当首位是4时，第二位从1，2，3，5四个数字中选一个，共有C₄¹A₄²=48
当前两位是40时，第三位是5，最后一位三选一，共有A₃¹=3
当前三位是403时，有1个，
根据分类加法原理得到共有A³₅+A¹₄A²₄+A¹₃+1=112

点评：本题是考查排列组合问题，是一个综合题，包括数字问题中可能遇到的所有情况，同学们注意分析问题，加以比较，争取做到举一反三．