Question

已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若，恒成立，求实数的最小值；
（3）证明.

Answer 1

（1）的单减区间是，单增区间是；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）函数问题先求定义域，当时，由于函数中含有绝对值符号，故要考虑或两种情况，接着求分别，令，求出其单调增区间或减区间；（2）当时，
，即，构造新函数，用导数法求函数的最小值，必须对分类讨论，从而求出的最小值；（3）由（2）得， ，当时，不等式左边，所以不等式成立，当时，令代入，用放缩法证明不等式成立.
试题解析：（1）当时，
当时，，
，
在上是减函数；
当时，，
，令得，，
在上单减，在上单增
综上得，的单减区间是，单增区间是．      4分
（2）当时，

即，设  5分
当时，，不合题意；    6分
当时，
令得，，
时，，在上恒成立，在上单增，
，故符合题意；  8分
②当时，，对，，，
故不合题意．综上，的最小值为．               9分
(3)由（2）得，   ①
证明：当n＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成立．
当n≥2时，令①式中得


，
，
，
所以当n≥2时不等式成立．
命题得证．                       14分