Question

已知多面体ABCDFE中， 四边形ABCD为矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD，O、M分别为AB、FC的中点，且AB=2，AD=EF=1。
（Ⅰ）求证：AF⊥平面FBC；
（Ⅱ）求证：OM∥平面DAF；
（Ⅲ）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V_F-ABCD，V_F-CBE，求V_F-ABCD∶V_F-CBE的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB， BC平面ABCD，而四边形ABCD为矩形 ∴BC⊥AB， ∴BC⊥平面ABEF ∵AF平面ABEF ∴BC⊥AF， ∵BF⊥AF，BC∩BF=B， ∴AF⊥平面FBC； （Ⅱ）取FD中点N，连接MN、AN，则MN∥CD， 且MN=CD，又四边形ABCD为矩形， ∴MN∥OA，且MN=OA， ∴四边形AOMN为平行四边形， ∴OM∥AN， 又∵OM平面DAF，ON平面DAF ∴OM∥平面DAF； （Ⅲ）过F作FG⊥AB与G， 由题意可得：FG⊥平面ABCD， ∴VF-ABCD =S矩形ABCD·FG=FG ∵CF⊥平面ABEF ∴VF-CBE=VC-BFE =S△BFE·CB==FG， ∴VF-ABCD∶VF-CBE=4∶ 1。