Question

17．已知四面体ABCD的顶点都在球O球面上，且球心O在BC上，平面ADC⊥平面BDC，AD=AC=BD，∠DAC=90°，若四面体ABCD的体积为$\frac{4}{3}$，则球O的体积为$4\sqrt{3}π$．

Answer 1

分析 利用四面体ABCD的体积为$\frac{4}{3}$，求出球的半径，即可求出球O的体积．

解答 解：由题意，设AD=AC=BD=x，
∵∠DAC=90°，∴CD=$\sqrt{2}$x，
∵平面ADC⊥平面BDC，
∴A到平面BDC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵球心O在BC上，
∴BD⊥CD，
∴四面体ABCD的体积为$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}x•\sqrt{2}x•\frac{\sqrt{2}}{2}x$=$\frac{4}{3}$，
∴x=2，
∴OA=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$，
∴球O的体积为$\frac{4}{3}•π•（\sqrt{3}）^{3}$=$4\sqrt{3}π$．
故答案为：$4\sqrt{3}π$．

点评 本题给出四面体ABCD的体积为$\frac{4}{3}$，考查球O的体积，正确求出球的半径是关键．