Question

18．已知函数f（x）=log_a $\frac{x-3}{x+3}$，g（x）=1+log_a（x-1），（a＞0且a≠1），设f（x）和g（x）的定义域的公共部分为D，
（1）求集合D；
（2）当a＞1时．若不等式g（x-$\frac{1}{6}$）-f（2x）＞2在D内恒成立，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a，当[m，n]?D时，f（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g（m）]，若存在，求实数a的取值范围，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用对数函数的定义求定义域即可；
（2）整理不等式得a＜$\frac{（6x-7）（2x+3）}{6（2x-3）}$，构造函数g（t）=$\frac{（3t+2）（t+6）}{6t}$=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{4}{t}$）+$\frac{10}{3}$，求出g（t）的最小值；
（3）对参数a进行分类讨论，当a＞1时，f（x）在3，+∞）上递增，g（x）在3，+∞）上递增，不合题意，舍去；
当0《a＜1时，f（x）在3，+∞）上递减，g（x）在3，+∞）上递减，构造m，n是f（x）=g（x）的两根，利用二次方程有解求出a的范围．

解答 解：（1）f（x）的定义域为：
$\frac{x-3}{x+3}$＞0，
∴x＞3或x＜-3；
g（x）的定义域为：
x-1＞0，
∴x＞1，
∴集合D为（3，+∞）；
（2）1+log_a（x-$\frac{7}{6}$）-log_a$\frac{2x-3}{2x+3}$＞2，
∴log_a$\frac{（6x-7）（2x+3）}{6（2x-3）}$＞1，
∴a＜$\frac{（6x-7）（2x+3）}{6（2x-3）}$，
设h（x）=$\frac{（6x-7）（2x+3）}{6（2x-3）}$，t=2x-3，
∴g（t）=$\frac{（3t+2）（t+6）}{6t}$=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{4}{t}$）+$\frac{10}{3}$，
∴g（t）＞g（3）=$\frac{11}{2}$，
∴1＜a≤$\frac{11}{2}$．
（3）f（x）=log_a（1-$\frac{6}{x+3}$），μ（t）=1-$\frac{6}{x+3}$在（3，+∞）上递增，μ（3）=0，
当a＞1时，f（x）在3，+∞）上递增，g（x）在3，+∞）上递增，
  当m＜n时，g（m）＜g（n），不合题意，舍去；
当0＜a＜1时，f（x）在3，+∞）上递减，g（x）在3，+∞）上递减，
由f（m）=g（m），f（n）=g（n），
∴m，n是f（x）=g（x）的两根，
∴$\frac{x-3}{x+3}$=a（x-1），
∴ax²+（2a-1）x-3a+3=0，
∴m+n＞6，mn＞9，
∴a＜$\frac{1}{8}$，
又m+n＞2$\sqrt{mn}$，
∴a＜$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$或a＞$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，
又△＞0，（2a-1）²-4a（3-3a）＞0
∴a＜$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$或a＞$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，
∴0＜a＜$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$．

点评 考查了对数函数定义域的求法，恒成立问题的转换，对参数a的讨论问题．