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【题目】如图,某市园林局准备绿化一块直径为的半圆空地,以外的地方种草,的内接正方形为一水池,其余的地方种花,若为定值),,设的面积为,正方形的面积为

(1)用表示

(2)当为何值时,取得最大值,并求出此最大值.

【答案】(1) ;(2) 的最大值为,此时.

【解析】试题分析:(1)在RtABC中,BC=a,ABC=α,由AB=acosα,AC=asinα,能求出S1;设正方形PQRS的边长为x,则BP=,AP=xcosα,由BP+AP= ,AB=acosα,AP+BP=AB,能求出S2

(2)=,令sin2α=t,推导出=,0t1,设f(t)=(0t1),推导出f(t)=在(0,1]上单调递减,由此能求出的最大值及相应的α.

试题解析:

(1)在中,

所以

设正方形的边长为,则

所以

,由,所以

,任取

上单调减,所以

所以

所以的最大值为,此时

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