Question

3．已知两点F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），满足条件|PF₁|-|PF₂|=2的动点P的轨迹是曲线E，直线l：y=kx-1与曲线E交于不同两点A、B：
（Ⅰ）求k的取值范围；   
（Ⅱ）若|AB|=2$\sqrt{5}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由双曲线的定义可知，求出a，b，求出曲线E的方程x²-y²=1（ x＞0）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\{x}^{2}-{y}^{2}=1\end{array}\right.$，消去y，利用直线与双曲线左支交于两点A，B，列出不等式组，求出k的取值范围．
（Ⅱ）利用第一问，通过弦长公式求出k的值，然后求出直线AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线 E 是以F₁（$-\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0）为焦点的双曲线的右支，且c=$\sqrt{2}$，a=1，易知b=1．故曲线 E 的方程为 x ²-y ²=1（ x＞0）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意建立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\{x}^{2}-{y}^{2}=1\end{array}\right.$
消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，则
$\left\{\begin{array}{l}1-{k}^{2}≠0\\△=（2k）^{2}+8（1-{k}^{2}）＞0\\{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-2k}{1-{k}^{2}}＞0\\{x}_{1}•{x}_{2}=\frac{-2}{1-{k}^{2}}＞0\end{array}\right.$，
解得1$＜k＜\sqrt{2}$
 即k的取值范围是（1，$\sqrt{2}$）．…（6分）
（Ⅱ）∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{-2k}{1-{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{-2}{1-{k}^{2}}}$=$2\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）（2-{k}^{2}）}{（1-{k}^{2}）^{2}}}$
依题意得，$2\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）（2-{k}^{2}）}{{（1-{k}^{2}）}^{2}}}=2\sqrt{5}$
整理后得6k⁴-11k²+3=0，解得k²=$\frac{1}{3}$或$\frac{3}{2}$
又1$＜k＜\sqrt{2}$，∴k=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{6}}{2}x-1$ …（12分）

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线方程的求法，范围问题的求解方法，考查转化思想以及计算能力．