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设函数f(x)=ax2+bx+c,对?x∈[-1,1],均有f(x)≤1.求证:对?x∈[-1,1],均有|2ax+b|≤4.
考点:不等式的证明
专题:证明题,不等式的解法及应用
分析:设g(x)=2ax+b,则g(x)为单调函数.故只需证|g(1)|≤4,且|g(-1)|≤4.
解答: 证明:设g(x)=2ax+b,则g(x)为单调函数.故只需证|g(1)|≤4,且|g(-1)|≤4.
由于对任意x∈[-1,1],均有-1≤f(x)≤1,
-1≤a+b+c≤1
-1≤a-b+c≤1
-1≤c≤1

-2≤a+b≤2
-2≤a-b≤2

∴-2≤a≤2.
又∵2a±b=a+(a±b),∴-4≤2a±b≤4,
即-4≤g(±1)≤4,即|g(±1)|≤4.
∴对任意x∈[-1,1],均有|2ax+b|≤4.
点评:本题主要考查了绝对值不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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3
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2
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+
y2
b2
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3
4
B、
3
8
C、
3
16
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y2
b2
+
x2
c2
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