考点:函数奇偶性的性质
专题:函数的性质及应用
分析:(1)直接根据函数是奇函数,满足f(-x)=-f(x),把x=0,和x=1代入,即可得到关于a,b的两个等式,解方程组求出a,b的值.
(2)利用减函数的定义即可证明.
(3))f(kx
2)+f(2x-1)>0成立,等价于f(kx
2)>-f(2x-1)=f(1-2x),即k<
成立,设g(x)=
,
换元使之成为二次函数,再求最小值.
解答:
解:(1)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0⇒
=0,解得b=1,
f(x)=
,又由f(1)=-f(-1)⇒
=,解得a=2.
(2)证明:由(1)可得:f(x)=
=
-.
?x
1<x
2,∴
2x2>2x1>0,
则f(x
1)-f(x
2)=
-=
>0,
∴f(x
1)>f(x
2).
∴f(x)在R上是减函数.
(3)∵函数f(x)是奇函数.
∴f(kx
2)+f(2x-1)>0成立,等价于f(kx
2)>-f(2x-1)=f(1-2x)成立,
∵f(x)在R上是减函数,∴kx
2<1-2x,
∴对于任意
x∈[,3]都有kx
2<1-2x成立,
∴对于任意
x∈[,3]都有k<
,
设g(x)=
,
∴g(x)=
=
()2-2(),
令t=
,t∈[
,2],
则有
g(t)=t2-2t,t∈[,2],∴g(x)
min=g(t)
min=g(1)=-1
∴k<-1,即k的取值范围为(-∞,-1)
点评:本题主要考查了奇函数的性质,以及应用性质求参数的值,属于函数性质的应用.解决第二问的关键在于先得到函数的单调性.