Question

8．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$=2．

Answer 1

分析 方法一：根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子，再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．
方法二：以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴建立直角坐标系，利用坐标的运算即可求出．

解答 解：（解法一）$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}）=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）$=${\overrightarrow{AD}^2}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}^2}=4-2=2$．
（解法二）以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴建立直角坐标系，$\overrightarrow{AC}=（2，2）$，$\overrightarrow{BE}=（-1，2）$，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}=2$．
故答案为：2．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．